Теория хаоса на службе у трейдера
Теория хаоса (chaos), она же теория нелинейных динамических систем, в последнее время является одним из самых модных подходов к исследованию рынка. К сожалению, точного математического определения понятия «хаос» пока не существует. Сейчас зачастую хаос определяют как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, возникающую в динамической системе.
Согласно теории хаоса в мире вместе царят случайность и порядок. Они неразлучны как добро и зло, как левое и правое.
Следует отметить, что хаос не случаен, несмотря на свойство непредсказуемости. Более того, хаос динамически детерминирован (определен). На первый взгляд непредсказуемость граничит со случайностью — ведь мы, как правило, не можем предсказать как раз случайные явления. И если относиться к рынку как к случайным блужданиям, то это как раз тот самый случай. Однако хаос не случаен, он подчиняется своим закономерностям. Согласно теории хаоса, если вы говорите о хаотичном движении цены, вы должны иметь в виду не случайное движение цены, а другое, особенно упорядоченное движение. Если динамика рынка хаотична, то она не случайна, хотя и по-прежнему непредсказуема.
Непредсказуемость хаоса объясняется в основном существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые малые ошибки при измерении параметров исследуемого объекта могут привести к абсолютно неверным предсказаниям. Эти ошибки могут также возникать вследствие элементарного незнания всех начальных условий. Что-то обязательно ускользнет от нашего внимания, а значит, уже в самой постановке задачи будет заложена внутренняя ошибка, которая приведет к существенным погрешностям в предсказаниях. Применительно к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий иногда называют «эффектом бабочки». «Эффект бабочки» указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.
Дополнительные неточности в результате исследований и расчетов могут вносить самые на первый взгляд незаметные факторы воздействия на систему, которые появляются в период ее существования с начального момента до появления фактического и окончательного результата. При этом факторы воздействия могут быть как экзогенные, так и эндогенные.
Ярким примером хаотического поведения является движение бильярдного шара. Если вы когда-либо играли в бильярд, то знаете, что от начальной точности удара, его силы, положения кия относительно шара, оценка месторасположения шара, по которому наносится удар, а также расположения других шаров, находящихся на столе, зависит конечный результат. Малейшая неточность в одном из этих факторов приводит к самым непредсказуемым последствиям — шар может покатиться совсем не туда, куда ожидал бильярдист. Более того, даже если бильярдист все сделал правильно и фантастически удачно, попробуйте предсказать движения шара после пяти-шести столкновений.
Рассмотрим еще один пример влияния начальных условий на конечный результат. Представим себе камень на вершине горы. Стоит его чуть-чуть подтолкнуть, и он покатится вниз до самого подножия горы. Понятно, что совсем малое изменение силы толчка и его направления может привести к очень значительному изменению места остановки камня у подножия. Есть, правда, одна очень существенная разница между примером с камнем и хаотической системой. В первом факторы воздействия на камень во время его падения с горы (ветер, препятствия, изменения внутренней структуры вследствие столкновений и т.п.) уже не оказывают сильного воздействия на конечный результат по сравнению с начальными условиями. В хаотических системах малые изменения оказывают значительное воздействие на результат не только в начальных условиях, но и при прочих факторах.
Один из главных выводов теории хаоса, таким образом, заключается в следующем — будущее предсказать невозможно, так как всегда будут ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий.
То же самое по-простому — малые изменения и (или) ошибки могут порождать большие последствия.
Сколько бы мы раз не начинали считать — результат будет практически всегда разным. При этом совпадение результатов будет встречаться тем реже, чем дальше в будущее мы смотрим. Это не относится к точным математическим формулам, а отражает жизненную парадигму теории хаоса. В народе о такой формулировке теоретического постулата есть хорошая пословица: «Нельзя в одну реку войти дважды».
Еще одним из основных свойств хаоса является экспоненциальное накопление ошибки. Согласно квантовой механике начальные условия всегда неопределенны, а согласно теории хаоса — эти неопределенности будут быстро прирастать и превысят допустимые пределы предсказуемости.
Другое свойство теории хаоса — достоверность прогнозов со временем быстро падает.
Данный вывод является существенным ограничением для применимости фундаментального анализа, оперирующего, как правило, именно долгосрочными категориями.
Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка — с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом — порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка. Например, дым от сигарет сначала поднимающийся в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Еще один пример хаотичности в природе — лист с любого дерева. Можно утверждать, что вы найдете много похожих листьев, например дуба, однако ни одной пары одинаковых листьев. Разница предопределена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).
Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью Вселенной, какие бы проявления ее мы не изучали. Даже в человеческом мозге одновременно присутствуют упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе — правому. Левое полушарие отвечает за сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если..., то...». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.
Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.
Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако подлинное научное развитие эта теория получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit В. Mandelbrot).
Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.
До работы Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.
Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас (Laplas). Лаплас заявил, что:
«...если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем».
Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас думал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.
Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик Жюль Анри Пуанкаре (Poincare). В 1903 году он сказал:
«Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая».
В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа.
В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.
Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.
Аттрактор (от англ. to attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Можно также сказать, что аттрактор — это предел системы, предел ее колебаний и динамики.
Здесь возникает необходимость определить понятие фазового пространства. Итак, фазовое пространство — это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и положением. Если движению маятника не оказывать сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутый круг. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль (рис. 9.5).
Попросту говоря, аттрактор — это область решений, то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.
Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.
Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения.
Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.
Третий тип аттрактора — тор. На рисунке 9.6 тор показан в верхнем правом углу.
Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.
Первым хаотическим аттрактором стал аттрактора Лоренца. На рисунке 9.6 он показан в левом нижнем углу и во всей своей красе на рисунке 9.7.
Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы: три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.
Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно к их стохастическому расхождению.
Вместе с тем любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.
Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости — возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий, наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.
В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука — способностью устанавливать связи между причинами и следствиями — в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.
Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.
Таким образом, можно отметить, что основным свойством хаотических аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.
Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, которая позволяет путем применения простых правил получать сложные фигуры, фрактал — это противоположность хаоса.
Главное различие между хаосом и фракталом заключается в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал — статическим. Под динамическим свойством хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.
Фрактал — это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, отсюда проявляется одно из свойств фрактала – самоподобие.
Другое свойство фрактала — дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.
Еще одно, третье свойство фрактала заключается в корреляции между всеми его точками. Этого точно нет в случайных процессах, что является еще одним подтверждением того, что даже самые причудливые фракталы не являются случайными, хотя и хаотические. Все точки фрактала зависимы друг от друга и малейшее изменение в одной из них приводит к изменению самого фрактала. Это свойство фракталов является критически важным для определения хаотических систем как неслучайных. Эмпирический опыт, уже подтвержденный целым рядом исследований, дает основание говорить о том, что рынки также являются неслучайными, так как они имеют память, а значит, каждое последующее событий на рынке зависит от предыдущего.
Фактически все, что кажется случайным и неправильным, может быть фракталом, например облака, деревья, изгибы рек, биение сердца, популяции и миграции животных или же языки пламени.
При этом различают детерминистские, как правило, симметричные фракталы и случайные фракталы. В природе симметричных фракталов не существует, однако они помогают лучше понять характеристики и порядок построения фракталов.
Рассмотрим пример одного из классических симметричных фракталов — ковер Серпинского (рис. 9.8).
Данный фрактал получается путем проведения ряда итераций. Итерация (от лат. iteratio — повторение) — повторное применение какой-либо математической операции.
Примерами случайных фракталов является почти все, что мы видим в природе, например деревья. Каждая из веток дерева подобна другой ветке и самому дереву в целом, хотя при этом и обладает отличительными особенностями.
Фрактал является аттрактором (пределом и целью) движения хаотической системы. Почему эти понятия идентичны? В странном аттракторе так же, как и во фрактале, по мере увеличения выявляется все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы не изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.
Самоподобие на рынках можно увидеть при чтении обыкновенных графиков. Например, попробуйте различить минутный, часовой и дневной графики любого одного товара и вы увидите, насколько они похожи и однообразны. В техническом анализе типичным примером фрактала являются волны Эллиота, где также работает принцип самоподобия.
Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х годов ХХ века разработал фрактальную геометрию, или, как он ее еще назвал — геометрию природы. Об этом Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Natиrе). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, так как он первым начал использовать его применительно к анализу нечетких, неправильных форм.
Дополнительная идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения, например 2.72. Такие измерения Мандельброт называет фрактальными измерениями.
Логика существования нецелых измерений очень простая. Например, в природе вряд ли найдется идеальный шар или куб, следовательно, трехмерное измерение этого реального шара или куба невозможно и для описания таких объектов должны существовать другие измерения. Вот для измерения таких неправильных фрактальных фигур и было введено понятие «фрактальное измерение». Скомкайте, например, лист бумаги в комок. С точки зрения классической евклидовой геометрии новообразованный объект будет являться трехмерным шаром. Однако в действительности это по-прежнему всего лишь двумерный лист бумаги, пусть и скомканный в подобие шара. Отсюда можно предположить, что новый объект будет иметь измерение больше 2, но меньше 3. Это плохо укладывается в евклидову геометрию, но хорошо может быть описано с помощью фрактальной геометрии, которая будет утверждать, что новый объект будет находиться во фрактальном измерении, приблизительно равном 2.5, т.е. иметь фрактальную размерность около 2.5. Физический смысл этой размерности очень прост. Он означает, что в классическом трехмерном пространстве остается незаполненной из-за естественно имеющихся в скомканном листе бумаги пробелов и дырок часть пространства.
Для менее чем двумерных объектов (например, движения рыночных цен) вычисление фрактальной размерности можно произвести по следующей формуле:
где D — фрактальная размерность;
N — количество окружностей, необходимых для покрытия исследуемого фрактального объекта;
r — радиус этих окружностей.
Понятно, что чем больше окружностей, тем больше и радиус этих окружностей, и поэтому пропорция остается неизменной. Используя эту формулу можно рассчитать фрактальную размерность динамики цены акции. Чем ближе эта размерность будет к 1, тем прямолинейнее является динамика цены. И наоборот, чем ближе фрактальная размерность к 2, тем более изрезанной, ломаной будет выглядеть эта динамика.
Фрактальную размерность можно вычислить также при помощи показателя Херста (Н). Мандельброт в своих работах показал, что фрактальная размерность является обратной величиной от Н. Например, при Н = 0.5 фрактальная размерность равна 2 (1/0.5), а при Н = 0.8 фрактальная размерность равна 1.25 (1/0.8).
Эдгар Петерс в своей книге «Хаос и порядок на рынках капитала» указывает на то, что фрактальную размерность более предпочтительно использовать при анализе риска ценной бумаги, нежели стандартное отклонение. Последнее хорошо характеризует изменчивость случайных рядов. И если относиться к рынку как к случайному процессу, то в этом случае применение стандартного отклонения в качестве главной характеристики величины риска вполне оправданно. Однако если рынки не случайны, а хаотичны, то фрактальная размерность как мера нелинейности движения цены подходит гораздо лучше.
Различают детерминистские фракталы, примером которых является ковер Серпинского, и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и провести несколько итераций над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя они и генерируются простой формулой.
Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы:
где Z и С — комплексные числа;
a — положительное число.
На рисунке 9.10 мы видим фрактал 2-й степени, где a = 2.
Подводя итог фрактальной геометрии, следует отметить, что фракталы хорошо описывают природу, однако не объясняют ее.
К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций.
Бифуркация (от лат. bifurcus — раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек.
Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, так называемый катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации.
Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум в основном анализировал следующее логистическое уравнение:
Из этого уравнения Фейгенбаум вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу.
Ниже рассмотрим классический биологический пример этого уравнения.
Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью Х . Через год появляется потомство численностью Х,. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения (СХ ), где коэффициент С определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом [C(X )'].
Результатом расчетов являются следующие выводы:
— при С < 1 популяция с ростом и вымирает;
— в области 1 < С < 3 численность популяции сходится к постоянному значению Х = 1 — 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений;
— в диапазоне 3 < С < 3.57 начинают появляться дополнительные бифуркации и разветвление каждой кривой на две. При значении С = 3 точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. До этого точка была притягивающей фиксированной, точкой схождения решений логистического уравнения. При С = 3 функция раздваивается (т.е. у логистического уравнения появляются два решения) и никогда больше не сходится к одной точке. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается. Впоследствии появляются четыре, восемь, шестнадцать и т.д. решений. Так, при С = 3.569945672 количество решений логистического уравнения достигает 65536;
— при С ) 3.57 количество решений логистического уравнения начинает стремиться к бесконечности, в результате чего происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим.
С ростом С иногда появляются области, в которых количество решений логистического уравнения вновь снижается до видимых величин. При С от 3.627 до 3.631 (все включительно) количество решений снижается до шести, а при С = 3.632 достигает двенадцати.
Впоследствии, однако, с ростом С количество решений вновь увеличивается.
Интерес может также представлять значение внешнего параметра С = 3.67857351. До этого значения решение логистического уравнения для каждого и является или больше или меньше предыдущего. После достижения С такого значения начинает проявляться следующий эффект — за растущим значением Х иногда начинают проявляться также растущие значения Х, хотя ранее за ним всегда следовало падение Х.
Подобное поведение логистического уравнения подвигло классиков теории хаоса к выводу о том, что итогом развития всех эволюционирующих физических систем является состояние, похожее на состояние динамического хаоса.
Отсюда делаются следующие выводы о хаотических системах.
1. Хаотические системы являются системами с обратной связью, когда от предыдущего значения зависит последующее. Этот факт прямо указывает на то, что хаотические системы не случайны, так как одним из свойств случайных блужданий является независимость предыдущих и последующих событий друг от друга.
2. В хаотических системах много точек равновесия. Так, при достижении параметра С определенного значения наблюдается более чем одна точка равновесия. В нашем примере это свойство проявляется уже при С = 3. До первой точки бифуркации система является линейной и еще нехаотична. Однако уже после первой бифуркации динамика системы становится нелинейной, приобретая все больше хаотических очертаний. И после С ) 3.57 количество вариантов решений логистического уравнения приобретает завершенный хаотический характер.
3. Хаотическая система является фракталом. Как мы помним, главным свойством фракталов является самоподобие. Так и в известной бифуркационной модели, малые элементы подобны большим, что очень хорошо видно на рисунке 9.11.
Если рассматривать теорию бифуркации в пересечении с теорией эффективных рынков, в точке бифуркации на рынок поступает новая информация, которая приводит к очередному бифуркационному изменению. Как только действие информации заканчивается, рынок успокаивается. Успокаивается до появления новой информации, а значит, до новой точки бифуркации.
Динамические переменные Х принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений С итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.).
Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий).
Логистическое уравнение можно свести к следующей системе уравнений при условии, если у стремится к у,,:
Отсюда вывод, что Х меньше единицы при любых значениях С. Второй вывод, что Х тем больше, чем больше С. Это означает рост точки сходимости (или нахождение точки, в которой логистическое уравнение стремится найти равновесие) вместе с ростом внешнего параметра.
На основании этой формулы можно легко рассчитать, что при С = 3 решение логистического уравнения стремится к 2/3, т.е. к 0.666666... в периоде.
Рассчитать логистическое уравнение можно на персональном компьютере, используя электронную таблицу Microsoft Excel. Для этого в ячейку А1 поместите значение внешнего параметра С. Начните, например, с 0.5. В ячейку В l поместите значение комплексного числа Х, например, 0.1. Дальше в ячейку В2 необходимо будет ввести следующую формулу, которую продлите на максимально возможное для одного столбца количество значений (например, до 65536-й строки):
=$A$1 Х Bl Х (1 — В1).
Элементарные расчеты покажут вам, что действительно с ростом периодов и результат туристического уравнения стремится к нулю.
При увеличении параметра С до 2 логистическое уравнение уже через n = 5 (при Х = 0.1) сходится к 0.5.
При увеличении параметра С до 3 результат логистического уравнения действительно сначала словно раздваивается, однако впоследствии он так же, как и при всех предыдущих значениях С, стремится сойтись к одной точке, значение которой мы уже знаем (2/3).
Из формулы логистического уравнения видно, что с ростом и нивелируется разница в первом значении Х для итогового решения логистического уравнения. Что интересно, это верно и для больших значений С. Из этого можно сделать вывод, что в логистическом уравнении самой важной переменной является величина внешнего параметра С. В биологическом примере этим параметром является скорость роста популяции. При небольших значениях скорости роста, как показывают расчеты, она определит период времени и, за который система придет в равновесие.
Фейгенбаум в результате своих исследований нашел следующую закономерность в появлении бифуркаций:
Кстати, универсальность константы Фейгенбаума как характеристики многих естественных хаотических процессов оставляет надежду на систематизацию и классификацию хаоса.
Используя число Фейгенбаума, можно найти значение С, при котором можно будет ожидать очередной бифуркации решений логистического уравнения:
Применение этой формулы позволяет предсказывать, какие значения внешнего параметра С являются критическими для возникновения новой бифуркации. Проведенные мной расчеты показали, что внешний параметр С для рассматриваемого нами логистического уравнения стремится к пределу 3.569945672, и сколь долго бы я не проводил расчеты в поиске следующей точки бифуркации, они заканчивались неудачей. Конечно же вручную можно ввести и большие значения С, однако приведенная выше формула для определения значения внешнего параметра С при n-й бифуркации в этом нам уже не поможет. Вместе с тем эта формула дает возможность наглядно понять, как очень малые изменения внешнего параметра С приводят к очень большим изменениям в решении логистического уравнения через большое количество периодов n.
Фейгенбаум также установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода. Здесь следует сказать, что в литературе, посвященной теории хаоса, делаются ссылки на экспериментальные подтверждения этого перехода для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем.
Результатом исследований Фейгенбаума стало так называемое «дерево Фейгенбаума» (рис. 9.12).
Между логистическим уравнением дерева Фейгенбаума [Х „= СХ (1 — Х ) ] и уравнением множества Мандельброта (Z, = Z '+ С) видна схожесть, которая проявляется в том числе и в простом графическом сопоставлении. Здесь мы видим пересечение бифуркационных моделей с фракталами, что еще раз подтверждает, что бифуркации имеют фрактальную природу, так как они тоже самоподобны.
Разница здесь только в том, что дерево Фейгенбаума растет в противоположную сторону от множества Мандельброта. Это объясняется разницей знаков внутри соответствующих формул, где в первой формуле квадрат числа Х отнимается, а во второй квадрат числа Z прибавляется.
На рисунке 9.13 видно, что каждая бифуркация сопровождается появлением новой фрактальной фигуры во множестве Мандельброта.
Что же такое бифуркации в обыденности, по простому. Как мы знаем из определения, бифуркации возникают при переходе системы от состояния видимой стабильности и равновесия к хаосу. Примерами таких переходов являются дым, вода и многие другие самые обычные природные явления. Так, поднимающийся вверх сигаретный дым сначала выглядит как упорядоченный столб. Однако через некоторое время он начинает претерпевать изменения, которые сначала кажутся упорядоченными, а затем становятся хаотически непредсказуемыми. Фактически первый переход от стабильности к некоторой форме видимой упорядоченности, но уже изменчивости происходит в первой точке бифуркации. Далее количество бифуркаций увеличивается, достигая огромных величин. С каждой бифуркацией функция турбулентности дыма приближается к хаосу. Причиной бифуркаций здесь является ускорение дыма, которое через некоторое время после появления дыма приводит к тому, что плотность дыма падает ниже плотности воздуха и дым рассеивается.
С помощью теории бифуркаций можно предсказать характер движения, возникающего при переходе системы в качественно иное состояние, а также область существования системы и оценить ее устойчивость.
К сожалению, само существование теории хаоса трудно совместимо с классической наукой. Обычно научные идеи проверяются на основании предсказаний и их сверки с реальными результатами. Однако, как мы уже знаем, хаос непредсказуем, когда изучаешь хаотическую систему, и можно прогнозировать только модель ее поведения. Поэтому с помощью хаоса не только нельзя построить точный прогноз, но и соответственно проверить его. Однако это не должно говорить о неверности теории хаоса, подтвержденной как в математических расчетах, так и в жизни.
На сейчас еще не существует математически точного аппарата применения теории хаоса для исследования рыночных цен, поэтому спешить с применением знаний о хаосе нельзя. Вместе с тем это действительно самое перспективное современное направление математики с точки зрения прикладных исследований финансовых рынков.
|
